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老马也识途

任教十七载,读些书,写了点文章,才觉得知识有限

 
 
 

日志

 
 

2013年05月22日  

2013-05-22 09:28:40|  分类: 教学设计 |  标签: |举报 |字号 订阅

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数学教学设计与反思
 
一、教学内容分析
本节课的主要内容是函数零点的定义,函数零点存在性的判定方法.
1.教学重点:函数零点的定义的理解。
2.教学难点:正确理解函数零点的定义,了解函数零点的判定方法的不可逆性。
知识与技能目标:理解函数零点的意义,了解函数的零点与方程根的关系 ,会求简单函数的零点,能判断二次函数零点的存在性,并能对零点存在定理进行简单的应用。
过程与方法目标:引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题,提高数学知识的综合应用能力.;体验函数零点存在定理的形成过程,初步感受零点存在定理在解题中的应用。
情感态度与价值观目标:让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想.
二、教学基本条件分析
1.学生条件:学生有较好的数学基础和数学理解能力,喜欢思考,乐于探究。
2.前期内容准备:在学习一次函数和二次函数时,教师结合课后习题,对函数、方程和不等式三者的联系已经作了适当的渗透。
3.教学媒体条件:支持幻灯片展示。
三、教学过程设计
开门见山,揭示课题
引语:同学们还记得在序言课上老师给大家展示的那首小诗《偶成》吗?
  (幻灯片展示)函数方程显神通,集合语言奠基功。
       一次二次学方法,指对幂中活运用。
       数形结合诚美妙,重要性质作沟通。
       因果变化多联系,物换星移运不穷。
  前几节课我们一起整理了一次函数和二次函数的性质,初步学习了研究函数的一般方法,进一步体会了这首小诗的寓意,今天我们通过研究函数的另一个重要性质——函数的零点来进一步感受函数与方程的联系。
  (板书课题)
教师直接板书函数零点的定义:如果函数在实数x0处的值等于零,即f(x0)=0,则x0叫做这个函数的零点。
设计意图:因为对这个定义的直观理解不难,所以直接给出,意为锻炼学生的数学阅读理解的能力,同时教师对这个概念暂时不加分析的处理为后面的设计作铺垫。
(二)逐层深化,发现联系
    教师在确定学生能读懂这个定义个基础上给出如下例题:
例1:求出下列函数的零点,并能够作出函数的图象。
(1)y= x2- x-6
(2)y=x2-2 x +1
(3)y= x 2+ x +1
解:过程略。
设计意图:
1.对于第(1)小题,学生根据自己对定义的理解,写出零点,有的学生可能会将“函数的零点”误以为是点,让学生在充分暴露问题的基础上,加深对概念的理解。
2.对于第(2)小题,让学生知道二重零点的含义。
3.对于第(3)小题,让学生感受到不是所有的函数都有零点。
问题1:(幻灯片展示)例题中给出的三个函数都是一元二次函数,那么你能总结出对于一般的一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它的零点的情况与什么有关?能否具体解释?
预设答案:与方程的判别式有关。当>0时,一元二次方程有两个不等的实数根x1x2,相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0),函数有两个零点x1x2;当=0时,一元二次方程有两个相等的实数根x1= x2,相应的二次函数的图象与x轴有一个交点(x1,0),函数有一个二重零点x1;当<0时,一元二次方程没有实数根,相应的二次函数的图象与x轴没有交点,函数没有零点.
设计意图:让学生在总结二次函数零点情况的过程中,理清方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标和函数的零点之间的逻辑关系。
问题2:对于一般的函数y= f x),它与相应的方程f(x)=0的关系又是怎样的呢?
提示:若xf (x)=0的实数根,对于函数y= f (x),相应的表述都有什么?0是方程
预设答案:xf(x)=0的实数根x0,0)是函数y= f(x)的图象与x f(x)的零点.轴的交点x0是函数y=0是方程
问题3:通过以上分析,你能总结出求函数零点的一般方法吗?
预设答案:
(1)令y=0,解方程,方程的根就是函数的零点。
(2)作出函数的图象,函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点。
设计意图:让学生从“数”和“形”两个角度理解函数的零点。
问题4:对于二次方程而言,如果方程有解,解方程的方法是什么?
预设答案:因式分解或求根公式。
设计意图:为下一环节作铺垫。
(三)利用方程,研究函数
问题1:在例1的第(1)题中,函数的零点将x轴分成三部分,请考察在函数每个区间内函数值的符号,并完成下面的表格。
(幻灯片展示)
(1)y=x2-x-6
问题2:请仔细观察两个表格,你能发现哪些规律?
预设答案:
(1)零点两侧符号相反,
(2)最右侧区间函数值的符号都为正;
问题3:以上结果的出现是必然还是偶然?请给出理由。
预设答案:
将方程因式分解,在最右侧的区间内的自变量的每个取值使每个因式的符号都为正,因此使得函数值大于0,而每经过一个零点,就使得其中的一个因式改变符号,所以零点左右函数值的符号相反。
问题4:是所有函数零点两侧函数值的符号都相反吗?
预设答案:不是,譬如函数y=x2-2x+1。
我们可以通过以上分析,作出函数y=x3-2x2-x+2图象(草图),当然,要想更加准确地作出函数图象,还要进一步研究函数的其他性质。
    设计意图:学生应用函数与方程的联系,通过方程研究函数的性质,做出函数的草图。同时,研究的过程也是在为后面发现零点存在定理作方法上的铺垫。
(四) 探究发现“零点存在定理”
1.探究发现
前面我们通过研究函数的零点可以考察其两侧函数值的符号,那么反之,我们能否通过研究函数值的符号特征来探寻零点呢?
(幻灯片展示)
作出函数的图象,判断下列函数在给定区间上是否存在零点?
(1)y=x+3 [-2,0]和[-4,0]
(2)y= x2-x-6 [-4,0],[1,4],[-4,4]和[-1,1]
根据以上判断,如果一个函数f(x)在区间(a,b)上存在零点,那么该区间端点的函数值的符号可能有哪些情况?
预设答案: f(a) f(b)<0或f(a) f(b)>0
追问1:对于上述的函数,f(x)满足什么条件时,函数在区间(a,b)上一定存在零点?
预设答案:f(a) f(b)<0
追问2:对于任意的函数f(x),如果在(a,b)上满足f(a) f(b)<0,是否在区间(a,b)上一定存在零点?
预设答案:不是。反例 (作出图象),所以函数的图象在[a,b]上必须是连续不断的
追问3:如果连续函数f(x)满足f(a) f(b)<0,则在区间(a,b)上存在唯一的零点。这种说法对吗?
预设答案:不对。反例y=x3-2x2-x+2。所以应表述为“至少存在一个”。
设计意图:使学生在教师的指导和不断追问下,经历探究和发现的过程,通过不断完善自己的思维过程,体会探究的乐趣。
2.零点存在定理
如果函数y f (x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a) f (b)<0,那么,函数y f (x)在区间(a,b)内至少存在一个零点,即存在cabf (c)=0。),使得∈(==
3“零点存在定理”的初步应用
例2:已知函数f (x)=x+b在(-1,1)上存在零点,求b的取值范围。
解:由题意:f (-1) f (1)<0,解得b∈(-1,1)
变式1:已知函数f (x)=x2+bx在(-1,1)上存在零点,求b的取值范围。
变式2:已知函数f (x)=x2+2bx+b的两根分别在(-1,0)和(0,1)内,求b的取值范围。
设计意图:让学生初步感受零点存在定理在解题中的应用,通过变式教学使学生的思维得到发散,提高学生的解题能力。
(五)总结升华
问题:通过本节课的学习,你在知识、数学思想方法等方面有哪些收获?
设计意图:通过小结,理清思路,归纳总结,更好的掌握知识技能,理解数学思想方法,提高解决问题的经验.
学生活动,教师进行简要的概括和升华。
()作业
1.课本P72练习A1、2.
2.思考题:结合例2及其变式1,含有参数b的函数f(x) 在(-1,1)上具有什么性质时,求b的取值范围时的解决方法与例题相同?
设计意图:巩固本节课所学习的内容
()板书设计
(八) 课后反思
在设计这节课之前,我思考的主要问题有两个:一是如何引入,二是“零点存在定理”如何呈现出来?
首先得到解决的是第二个问题,“探究式”的方向很快被确定下来,那么又怎样探究呢?我查了相关资料,在借鉴同行做法的基础上,主要结合自己的教学风格和学生的特点形成了教学设计中的处理方式。
然后就是解决引入的问题,教学设计中的处理方式的形成主要基于以下三方面的考虑:一、定义不难,且其要渗透的想法在前期教学中有所涉及;二、高考题往往会出一些所谓信息题,考查学生的阅读理解能力;三、开门见山,让学生有一种别样的感觉。
事实上,课后我发现,这种“无情境”的引入方式在与惯常的“情景引入”的对比中反而产生了一种强烈的别致的情境,加上教师表情语言的配合,收到了很好的效果。
此外,环环相扣的问题式的设计也使得学生在思维水平上得到了提升,作业中思考题的设计也是教师得意之作。
教学设计在实施后发现,让学生探究的过程中教师还是可以放得再开一些,给学生的空间再大一点。
(九) 效果评价
这节课从总体上激发了学生主动参与课堂的愿望,激发了学生探究发现的兴趣,在后面的教学中发现学生对这部分知识的掌握还是很好的。
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