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老马也识途

任教十七载,读些书,写了点文章,才觉得知识有限

 
 
 

日志

 
 

空间与图形  

2013-04-09 08:01:12|  分类: 教育教学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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二、空间与图形

  在本学段中,学生将探索基本图形(直线形、圆)的基本性质及其相互关系,进一步丰富对空间图形的认识和感受,学习平移、旋转、对称的基本性质,欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用,学习运用坐标系确定物体位置的方法,发展空间观念。

  推理与论证的学习从以下几个方面展开:在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中,发展合情推理,进一步学习有条理地思考与表达;在积累了一定的活动经验与掌握了一定的图形性质的基础上,从几个基本的事实出发,证明一些有关三角形、四边形的基本性质,从而体会证明的必要性,理解证明的基本过程,掌握用综合法证明的格式,初步感受公理化思想。

  在教学中,应注重所学内容与现实生活的联系,注重使学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程;应注重对证明本身的理解,而不追求证明的数量和技巧。证明的要求控制在《标准》所规定的范围内。

  (一)具体目标

  1.图形的认识

  (1)点、线、面

  通过丰富的实例,进一步认识点、线、面(如交通图上用点表示城市,屏幕上的画面是由点组成的)。

  (2)角

  ①通过丰富的实例,进一步认识角。

  ②会比较角的大小,能估计一个角的大小,会计算角度的和与差,认识度、分、秒,会进行简单换算。

  ③了解角平分线及其性质

  (3)相交线与平行线

  注【1】角平分线上的点到角的两边距离相等,角的内部到两边距离相等的点在角的平分线上。

  ①了解补角、余角、对顶角,知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。

  ②了解垂线、垂线段等概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线距离的意义。

  ③知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。

  ④了解线段垂直平分线及其性质【1】。

  ⑤知道两直线平行同位角相等,进一步探索平行线的性质。

  ⑥知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线,会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。

  ⑦体会两条平行线之间距离的意义,会度量两条平行线之间的距离。

  (4)三角形

  ①了解三角形有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线),会画出任意三角形的角平分线、中线和高,了解三角形的稳定性。

  ②探索并掌握三角形中位线的性质。

  ③了解全等三角形的概念,探索并掌握两个三角形全等的条件。

  ④了解等腰三角形的有关概念,探索并掌握等腰三角形的性质【2】和一个三角形是等腰三角形的条件[3];了解等边三角形的概念并探索其性质。

  ⑤了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质[4]和一个三角形是直角三角形的条件[5]

  ⑥体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单问题;会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

  (5)四边形

  ①探索并了解多边形的内角和与外角和公式,了解正多边形的概念。

  ②掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质,了解它们之间的关系;了解四边形的不稳定性。

  注

  【1】线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

  【2】等腰三角形的两底角相等,底边上的高、中线及顶角平分线三线合一。

  [3]有两个角相等的三角形是等腰三角形。

  [4]直角三角形的两锐角互余,斜边上的中线等于斜边一半。

  [5]有两个角互余的三角形是直角三角形。

  ③探索并掌握平行四边形的有关性质[1]和四边形是平行四边形的条件[2]。

  ④探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质[3]和四边形是矩形、菱形、正方形的条件[4]。

  ⑤探索并了解等腰梯形的有关性质[5]和四边形是等腰梯形的条件。[6]

  ⑥探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义(如一根均匀木棒、一块均匀的矩形木重心)。

  ⑦通过探索平面图形的镶嵌,知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面,并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。

  (6)圆

  ①理解圆及其有关概念,了解弧、弦、圆心角的关系,探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。

  ②探索圆的性质,了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。

  ③了解三角形的内心和外心。

  ④了解切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的关系;能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线。

  ⑤会计算弧长及扇形的面积,会计算圆锥的侧面积和全面积。

  (7)尺规作图

  ①完成以下基本作图:作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角,作角的平分线,作线段的垂直平分线。

  ②利用基本作图作三角形:已知三边作三角形;已知两边及其夹角作三角形;已知两角及其夹边作三角形;已知底边及底边上的高作等腰三角形。

  ③探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。

  ④了解尺规作图的步骤,对于尺规作图题,会写已知、求作和作法(不要求证明)。

  (8)视图与投影

  ①会画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图(主视图、左视图、俯视图),会判断简单物体的三视图,能根据三视图描述基本几何体或实物原型。

  ②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图,能根据展开图判断和制作立体模型。

  ③了解基本几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系;通过典型实例,知道这种关系在现实生活中的应用(如物体的包装)。

  注:

  [1]平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。

  [2]一组对边平行且相等,或两组对边分别相等,或对角线互相平分的四边形是平行四边形。

  [3]矩形的四个角都是直角,对角线相等;菱形的四条边相等,对角线互相垂直平分。

  [4]三个角是直角的四边形,或对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形,或对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

  [5]等腰梯形同一底上的两底角相等,两条对角线相等。

  [6]同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形。

  ④观察与现实生活有关的图片(如照片、简单的模型图、平面图、地图等),了解并欣赏一些有趣的图形(如雪花曲线、莫比乌斯带)。

  ⑤通过背景丰富的实例,知道物体的阴影是怎么形成的,并能根据光线的方向辨认实物的阴影(如在阳光或灯光下,观察手的阴影或人的身影)。

  ⑥了解视点、视角及盲区的涵义,并能在简单的平面图和立体图中表示。

  ⑦通过实例了解中心投影和平行投影。

  2.图形与变换

  (1)图形的轴对称

  ①通过具体实例认识轴对称,探索它的基本性质,理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。

  ②能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形;探索简单图形之间的轴对称关系,并能指出对称轴。[参见例
1]

  ③探索基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性及其相关性质。

  ④欣赏现实生活中的轴对称图形,结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称,能利用轴对称进行图案设计。

  (2)图形的平移

  ①通过具体实例认识平移,探索它的基本性质,理解对应点连线平行且相等的性质。

  ②能按要求作出简单平面图形平移后的图形。

  ③利用平移进行图案设计,认识和欣赏平移在现实生活中的应用。

  (3)图形的旋转

  ①通过具体实例认识旋转,探索它的基本性质,理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。

  ②了解平行四边形、圆是中心对称图形。

  ③能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。

  ④欣赏旋转在现实生活中的应用。

  ⑤探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)。[参见例2和例3]

  ⑥灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。

  (4)图形的相似

  ①了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段,通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。

  ②通过具体实例认识图形的相似,探索相似图形的性质,知道相似多边形的对应角相等,对应边成比例,面积的比等于对应边比
的平方。

  ③了解两个三角形相似的概念,探索两个三角形相似的条件。

  ④了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小。

  ⑤通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似,利用图形的相似解决一些实际问题(如利用相似测量旗杆的高度)。

  ⑥通过实例认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanA),知道30°,45°,60°角的三角函数值;会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角。

  ⑦运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。

  3.图形与坐标

  (1)认识并能画出平面直角坐标系;在给定的直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。[参见例4]

  (2)能在方格纸上建立适当的直角坐标系,描述物体的位置。[参见例5]

  (3)在同一直角坐标系中,感受图形变换后点的坐标的变化。[参见例6]

  (4)灵活运用不同的方式确定物体的位置。[参见例7]

  4.图形与证明

  (1)了解证明的含义

  ①理解证明的必要性。

  ②通过具体的例子,了解定义、命题、定理的含义,会区分命题的条件(题设)和结论。

  ③结合具体例子,了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并知道原命题成立其逆命题不一定成立。

  ④通过具体的例子理解反例的作用,知道利用反例可以证明一个命题是错误的。

  ⑤通过实例,体会反证法的含义。

  ⑥掌握用综合法证明的格式,体会证明的过程要步步有据。

  (2)掌握以下基本事实,作为证明的依据

  ①一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。

  ②两条直线被第三条直线所截,若同位角相等,那么这两条直线平行。

  ③若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边,或三边)分别相等,则这两个三角形全等。

  ④全等三角形的对应边、对应角分别相等。

  (3)利用(2)中的基本事实证明下列命题[1]

  ①平行线的性质定理(内错角相等、同旁内角互补)和判定定理(内错角相等或同旁内角互补,则两直线平行)。

  ②三角形的内角和定理及推论(三角形的外角等于不相邻的两内角的和,三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角)。

  ③直角三角形全等的判定定理。

  ④角平分线性质定理及逆定理;

  三角形的三条角平分线交于一点(内心)。

  ⑤垂直平分线性质定理及逆定理;

  三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心)。

  ⑥三角形中位线定理。

  ⑦等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。

  ⑧平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。

 (4)通过对欧几里得《原本》的介绍,感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值

  (二)案例

  例1 以树干为对称轴,画出树的另一半。

  例2 请说出下面乙树是怎样由甲树变换得到的。

  例3 观察下面的图案,它可以看成是由哪个图形经过怎样的变换产生的?

  例4 在坐标系中描出下列各点,并将各组的点顺次连接起来:

  ①(2,0),(4,0),(6,2),(6,6),(5,8),(4,6),(2,6),(1,8),(0,6),(0,2),(2,0);

  ②(1,3),(2,2),(4,2),(5,3);

  ③(1,4),(2,4),(2,5),(1,5),(1,4);

  ④(4,4),(5,4),(5,5),(4,5),(4,4);

  ⑤(3,3)。

  观察这个图形,你觉得它像什么?

  例5 下图是某市旅游景点的示意图。试建立直角坐标系,用坐标表示各个景点的位置:

  例6 如图所示,在直角坐标系下,图1中的图案"A"经过变换分别变成图2至图6中的相应图案(虚线对应于原图案),试写出图2至图6中各顶点的坐标,探索每次变换前后图案发生了什么变化、对应点的坐标之间有什么关系。

    

 

 

  例7 张坚在某市动物园的大门口看到这个动物园的平面示意图(如下图)。试借助刻度尺、量角器解决如下问题:



  (1)建立适当的直角坐标系,用坐标表示猴山、驼峰、百鸟园的位置;

  (2)填空:

  百鸟园在大门的北偏东_______度的方向上,到大门的图上距离约为(  )厘米;

  熊猫馆在大门的北偏________度的方向上,到大门的图上距离约为(  )厘米;

  驼峰在大门的南偏________度的方向上,到大门的图上距离约为(  )厘米。

  说明本题旨在让学生体会除用直角坐标系描述物体的位置外,还可以选定某个参照物和某个方向,用距离和角度来刻画物体的位置。  

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