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老马也识途

任教十七载,读些书,写了点文章,才觉得知识有限

 
 
 

日志

 
 

18.2解一元二次方程(公式法)  

2013-04-16 16:16:02|  分类: 教学设计 |  标签: |举报 |字号 订阅

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18.2解一元二次方程(公式法)

 

    教学内容

    1.一元二次方程求根公式的推导过程;

    2.公式法的概念;

    3.利用公式法解一元二次方程.

    教学目标

    理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.

    复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0a0的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程.

    重难点关键

    1.重点:求根公式的推导和公式法的应用.

    2.难点与关键:一元二次方程求根公式法的推导.

    教学过程

    一、复习引入

    (学生活动)用配方法解下列方程

    16x2-7x+1=0   24x2-3x=52

    (老师点评)  1)移项,得:6x2-7x=-1

    二次项系数化为1,得:x2-x=-

    配方,得:x2-x+2=-+2

              x-2=

x-=±  x1=+==1 

x2=-+==

    2)略

    总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评).

    1)移项;

    2)化二次项系数为1

    3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;

    4)原方程变形为(x+m2=n的形式;

    5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.

    二、探索新知

    如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0a0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.

    问题:已知ax2+bx+c=0a0)且b2-4ac0,试推导它的两个根x1=x2=

    分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把abc也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.

    解:移项,得:ax2+bx=-c

    二次项系数化为1,得x2+x=-

    配方,得:x2+x+2=-+2

    即(x+2=

    b2-4ac04a2>0

    0

    直接开平方,得:x+=±

    x=

    x1=x2=

    由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0a0)的根由方程的系数abc而定,因此:

    1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b-4ac0时,abc代入式子x=就得到方程的根.

    2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.

    3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

    4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.

    1.用公式法解下列方程.

    12x2-4x-1=0        25x+2=3x2

    3)(x-2)(3x-5=0   44x2-3x+1=0

    分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可.

    解:(1a=2b=-4c=-1

    b2-4ac=-42-4×2×(-1=24>0

    x=

    x1=x2=

    2)将方程化为一般形式

     3x2-5x-2=0

     a=3b=-5c=-2

     b2-4ac=-52-4×3×(-2=49>0

    x=

    x1=2x2=-

    3)将方程化为一般形式

    3x2-11x+9=0

    a=3b=-11c=9

    b2-4ac=-112-4×3×9=13>0

    x=

    x1=x2=

    3a=4b=-3c=1

    b2-4ac=-32-4×4×1=-7<0

    因为在实数范围内,负数不能开平方,所以方程无实数根.

    三、巩固练习

    教材P42  练习1.(1)、(3)、(5

    四、应用拓展

    2某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1+m-2x-1=0提出了下列问题.

    1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程.

    2)若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出.

    你能解决这个问题吗?

    分析:能.(1)要使它为一元二次方程,必须满足m2+1=2,同时还要满足(m+1)≠0

    2)要使它为一元一次方程,必须满足:

或②或③

    解:1)存在.根据题意,得:m2+1=2

                               m2=1  m=±1

      m=1时,m+1=1+1=20

      m=-1时,m+1=-1+1=0(不合题意,舍去)

      ∴当m=1时,方程为2x2-1-x=0

      a=2b=-1c=-1

      b2-4ac=-12-4×2×(-1=1+8=9

      x=

      x1=x2=-

      因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x1=1x2=-

    2)存在.根据题意,得:①m2+1=1m2=0m=0

    因为当m=0时,(m+1+m-2=2m-1=-10

    所以m=0满足题意.

    m2+1=0m不存在.

    ③当m+1=0,即m=-1时,m-2=-30

    所以m=-1也满足题意.

    m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0

    解得:x=-1

    m=-1时,一元一次方程是-3x-1=0

    解得x=-

    因此,当m=0-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=-1;当m=-1时,其一元一次方程的根为x=-

    五、归纳小结

    本节课应掌握:

    1)求根公式的概念及其推导过程;

    2)公式法的概念;

    3)应用公式法解一元二次方程;

    4)初步了解一元二次方程根的情况.

    六、布置作业

    1.教材P45  复习巩固4

    2.选用作业设计:

    

    一、选择题

    1.用公式法解方程4x2-12x=3,得到(  ).

Ax=     Bx=   

Cx=     Dx=

    2.方程x2+4x+6=0的根是(  ).

Ax1=x2=     Bx1=6x2=

Cx1=2x2=     Dx1=x2=-

    3.(m2-n2)(m2-n2-2-8=0,则m2-n2的值是(  ).

      A4     B-2     C4-2     D-42

    二、填空题

    1.一元二次方程ax2+bx+c=0a0)的求根公式是________,条件是________

    2.当x=______时,代数式x2-8x+12的值是-4

    3.若关于x的一元二次方程(m-1x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是_____

    三、综合提高题

    1.用公式法解关于x的方程:x2-2ax-b2+a2=0

    2.设x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a0)的两根,(1)试推导x1+x2=-x1·x2=;(2求代数式ax13+x23+bx12+x22+cx1+x2)的值.

    3.某电厂规定:该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时,那么这户居民这个月只交10元电费,如果超过A千瓦时,那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费.

    1)若某户2月份用电90千瓦时,超过规定A千瓦时,则超过部分电费为多少元?(A表示)

2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况

月份

用电量(千瓦时)

交电费总金额(元)

 3

       80

       25

 4

       45

       10

    根据上表数据,求电厂规定的A值为多少?

 

答案:

一、1D  2D  3C

二、1x=b2-4ac0   24  3-3

三、1x==a±│b

2.(1)∵x1x2ax2+bx+c=0a0)的两根,

    x1=x2=

    x1+x2==-

    x1·x2=·=

    2x1x2ax2+bx+c=0的两根,ax12+bx1+c=0ax22+bx2+c=0

    原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2

        =x1ax12+bx1+c+x2ax22+bx2+c

        =0

3.(1)超过部分电费=90-A)·=-A2+A

 2)依题意,得:(80-A)·=15A1=30(舍去),A2=50

 

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